Упр.27.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$3\operatorname{tg}^2(x)-8=4\cos^2(x)$$; б) $$4\sin^2(x)=4-9\operatorname{tg}^2(x)$$.
а) $$3\tg^2 x-8=4\cos^2 x.$$
Так как $$\tg^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x},$$ умножим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$3\sin^2 x-8\cos^2 x=4\cos^4 x.$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$3(1-\cos^2 x)-8\cos^2 x=4\cos^4 x,$$
$$3-11\cos^2 x-4\cos^4 x=0.$$
Положим $$y=\cos^2 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$4y^2+11y-3=0.$$
$$D=11^2+4\cdot 4\cdot 3=169,$$
$$y_{1,2}=\dfrac{-11\pm 13}{8}.$$
Отсюда:
$$y_1=-3,\qquad y_2=\dfrac14.$$
Значение $$\cos^2 x=-3$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0.$$
Остаётся:
$$\cos^2 x=\dfrac14,$$
$$\cos x=\pm \dfrac12.$$
Тогда
$$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
б) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x.$$
Так как $$\tg^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x},$$ умножим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$4\sin^2 x\cos^2 x=4\cos^2 x-9\sin^2 x.$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$4(1-\cos^2 x)\cos^2 x=4\cos^2 x-9(1-\cos^2 x).$$
После преобразований получаем:
$$4\cos^4 x+9\cos^2 x-9=0.$$
Положим $$y=\cos^2 x$$. Тогда:
$$4y^2+9y-9=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225,$$
$$y_{1,2}=\dfrac{-9\pm 15}{8}.$$
Отсюда:
$$y_1=-3,\qquad y_2=\dfrac34.$$
Значение $$\cos^2 x=-3$$ не подходит.
Остаётся:
$$\cos^2 x=\dfrac34,$$
$$\cos x=\pm \dfrac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
