Упр.27.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$; б) $$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$.

а) $$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу $$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$:

$$(\cos 6x-\cos 2x)+(\cos 8x-\cos 4x)=0$$

$$-2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0$$

$$-2\sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0$$

Используем формулу $$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$:

$$-2\sin 2x\cdot 2\sin 5x\cos x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

2) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}$$

3) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Но решения из пункта 3 входят в множество решений пункта 1, поэтому их можно не выделять отдельно.

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$

Сгруппируем и применим формулы преобразования суммы в произведение:

$$(\sin 3x-\sin x)+(\cos 3x-\cos x)=0$$

$$2\cos 2x\sin x-2\sin 2x\sin x=0$$

$$2\sin x(\cos 2x-\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x-\sin 2x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

2) $$\cos 2x-\sin 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=1$$

$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$