Упр.27.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\cos 5x+\cos 7x-\cos 6x=0$$;

б) $$\sin 9x-\sin 5x+\sin 4x=0$$.

а) $$\cos 5x+\cos 7x-\cos 6x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 5x+\cos 7x=2\cos 6x\cos x.$$

Тогда

$$2\cos 6x\cos x-\cos 6x=0,$$

$$\cos 6x\,(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

1) $$\cos 6x=0,$$ тогда

$$6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}.$$

2) $$2\cos x-1=0,$$ тогда

$$\cos x=\frac12,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin 9x-\sin 5x+\sin 4x=0$$

Преобразуем разность синусов:

$$\sin 9x-\sin 5x=2\cos 7x\sin 2x.$$

Тогда

$$2\cos 7x\sin 2x+\sin 4x=0.$$

Так как $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,$$ получаем

$$2\sin 2x(\cos 7x+\cos 2x)=0.$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 7x+\cos 2x=2\cos \frac{9x}{2}\cos \frac{5x}{2}.$$

Следовательно,

$$4\sin 2x\cos \frac{9x}{2}\cos \frac{5x}{2}=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{9x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{5x}{2}=0.$$

1) $$\sin 2x=0,$$ тогда

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos \frac{9x}{2}=0,$$ тогда

$$\frac{9x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}.$$

3) $$\cos \frac{5x}{2}=0,$$ тогда

$$\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9},\; x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$