Упр.27.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin^2(x)+\cos^2(2x)=1$$; б) $$\cos^2(3x)-\sin^2(3x)-\cos(4x)=0$$.

а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1.$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x.$$ Тогда

$$\sin^2 x+(1-2\sin^2 x)^2=1.$$

Обозначим $$t=\sin^2 x$$. Получаем:

$$t+(1-2t)^2=1,$$

$$t+1-4t+4t^2=1,$$

$$4t^2-3t=0,$$

$$t(4t-3)=0.$$

Отсюда

$$\sin^2 x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x=\frac34.$$

1) Если $$\sin x=0,$$ то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2},$$ то

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Все эти значения можно записать короче:

$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 4x=0.$$

Преобразуем разность квадратов тригонометрических функций:

$$\cos^2 3x-\sin^2 3x=\cos 6x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos 6x-\cos 4x=0.$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$

Получаем

$$-2\sin 5x\sin x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

Но решения $$\sin x=0$$ входят в решения $$\sin 5x=0,$$ поэтому достаточно записать

$$5x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$