Упр.27.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\frac{3}{1+x-x^2}=3-x-x^2$$; б) $$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1$$.
Положим $$y=x^2+x.$$ Тогда уравнение
$$\frac{3}{1+x+x^2}=3-x-x^2$$
примет вид
$$\frac{3}{1+y}=3-y.$$
Умножим на $$1+y$$:
$$3=(3-y)(1+y).$$
Раскроем скобки:
$$3=3+3y-y-y^2,$$
$$y^2-2y=0,$$
$$y(y-2)=0.$$
Отсюда
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=2.$$
1) Если $$y=0,$$ то
$$x^2+x=0,$$
$$x(x+1)=0,$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1.$$
2) Если $$y=2,$$ то
$$x^2+x=2,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x=\frac{-1\pm 3}{2},$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-2.$$
Итак, корни уравнения:
$$x=-2,\,-1,\,0,\,1.$$
Рассмотрим второе уравнение:
$$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1.$$
Положим $$y=x^2-x.$$ Тогда получаем
$$\frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}=1.$$
Умножим на $$\left(y+1\right)\left(y-2\right):$$
$$y(y-2)-(y+2)(y+1)=(y+1)(y-2).$$
Раскроем скобки:
$$y^2-2y-\left(y^2+3y+2\right)=y^2-y-2,$$
$$y^2+4y=0,$$
$$y(y+4)=0.$$
Отсюда
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=-4.$$
1) Если $$y=0,$$ то
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0,$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1.$$
2) Если $$y=-4,$$ то
$$x^2-x=-4,$$
$$x^2-x+4=0.$$
Но
$$D=1-16=-15<0,$$
значит, действительных корней нет.
Следовательно, для второго уравнения:
$$x=0,\;1.$$
Ответ
а) $$-2,\,-1,\,0,\,1$$; б) $$0,\,1$$.
