Упр.27.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 27.3. Решите уравнение:
   а) $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac{1}{2}\sqrt{32}$$;
   б) $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1^{\log_2(x-7)}$$.

а) $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac12\sqrt{32}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac12\sqrt{32}=2^{-1}\cdot 2^{5/2}=2^{3/2}$$

Тогда

$$2^{\sqrt{x-3}}=2^{3/2}$$

Следовательно,

$$\sqrt{x-3}=\frac32$$

$$x-3=\frac94$$

$$x=\frac{21}{4}=5{,}25$$

Ответ: $$5{,}25$$.

б) $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1^{\log_2(x-7)}$$

Запишем числа в виде степеней десяти:

$$0{,}00001=10^{-5}, \qquad 0{,}1=10^{-1}$$

Тогда

$$10^{\log_2(x-3)}\cdot 10^{-5}=10^{-\log_2(x-7)}$$

$$10^{\log_2(x-3)-5}=10^{-\log_2(x-7)}$$

Приравниваем показатели:

$$\log_2(x-3)-5=-\log_2(x-7)$$

$$\log_2(x-3)+\log_2(x-7)=5$$

$$\log_2\bigl((x-3)(x-7)\bigr)=\log_2 32$$

$$(x-3)(x-7)=32$$

$$x^2-10x+21=32$$

$$x^2-10x-11=0$$

$$D=100+44=144$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 12}{2}$$

$$x_1=11,\qquad x_2=-1$$

Проверим область определения:

$$x-3>0,\qquad x-7>0$$

$$x>7$$

Подходит только $$x=11$$.

Ответ: $$11$$.