Упр.27.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1$$;

б) $$((x-2)(x-4))^2+2(x-3)^2-2=0$$.

а) Обозначим $$t=x^2-5x+7.$$ Тогда

$$t^2-(x-2)(x-3)=1.$$

Раскроем скобки:

$$t^2-(x^2-5x+6)=1,$$

то есть

$$t^2-t-1=0.$$

Но здесь удобнее заметить, что

$$t^2-(t-1)=1 \;\Longrightarrow\; t^2-t=0,$$

откуда

$$t(t-1)=0.$$

Получаем два уравнения:

$$x^2-5x+7=0$$

и

$$x^2-5x+6=0.$$

Для первого уравнения

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 7=25-28=-3<0,$$

значит, действительных корней нет.

Для второго уравнения

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$

Следовательно,

$$x_1=2,\quad x_2=3.$$

б) Обозначим $$t=x^2-6x+8.$$ Тогда

$$((x-2)(x-4))^2+2(x-3)^2-2=0$$

преобразуется к виду

$$t^2+2t-2=0,$$

где

$$t=x^2-6x+8.$$

Разложим на множители:

$$t(t+2)=0.$$

Отсюда

$$x^2-6x+8=0$$

или

$$x^2-6x+10=0.$$

Для первого уравнения

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

Получаем

$$x_1=2,\quad x_2=4.$$

Для второго уравнения

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0,$$

действительных корней нет.

Ответ

а) $$2,\ 3$$; б) $$2,\ 4$$.