Упр.27.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(x-1\right)^4+36=13\left(x^2-2x+1\right)$$
б) $$\left(2x-3\right)^4-9=8\left(4x^2+12x+9\right)$$

(а) Преобразуем уравнение:

$$(x-1)^4+36=13(x^2-2x+1)$$

Так как $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ получаем:

$$(x-1)^4-13(x-1)^2+36=0.$$

Пусть $$y=(x-1)^2,$$ тогда

$$y^2-13y+36=0.$$

$$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25,$$

$$y_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad y_2=\frac{13+5}{2}=9.$$

1) Если $$(x-1)^2=4,$$ то

$$x^2-2x+1=4,$$

$$x^2-2x-3=0,$$

$$x_1=-1,\qquad x_2=3.$$

2) Если $$(x-1)^2=9,$$ то

$$x^2-2x+1=9,$$

$$x^2-2x-8=0,$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=4.$$

Итак, для пункта (а): $$x=-2,\,-1,\,3,\,4.$$

(б) Преобразуем уравнение:

$$(2x+3)^4-9=8(4x^2+12x+9)$$

Так как $$4x^2+12x+9=(2x+3)^2,$$ получаем:

$$(2x+3)^4-8(2x+3)^2-9=0.$$

Пусть $$y=(2x+3)^2,$$ тогда

$$y^2-8y-9=0.$$

$$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,$$

$$y_1=\frac{8-10}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{8+10}{2}=9.$$

1) Если $$(2x+3)^2=-1,$$ то решений нет, так как квадрат не может быть отрицательным.

2) Если $$(2x+3)^2=9,$$ то

$$4x^2+12x+9=9,$$

$$4x^2+12x=0,$$

$$4x(x+3)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-3.$$

Итак, для пункта (б): $$x=-3,\,0.$$

Ответ: а) $$-2,\,-1,\,3,\,4$$; б) $$-3,\,0$$.