Упр.27.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) $$2x=\sin x$$, $$[0;+\infty)$$; в) $$7x=\cos x$$, $$[0;+\infty)$$; б) $$\frac{4}{5}x=\cos x$$, $$(-\infty;0]$$; г) $$\log_3(x)=\sin x$$, $$(0;3]$$?
Рассмотрим каждое уравнение на указанном промежутке.
$$2^x=\sin x,\quad [0;+\infty)$$
Функция $$y=2^x$$ возрастает на всей числовой прямой, и при $$x\ge 0$$ имеем $$2^x\ge 1$$. При этом $$\sin x\le 1$$ для всех $$x$$.
Равенство возможно только при $$2^x=1$$ и $$\sin x=1$$ одновременно. Но $$2^x=1$$ при $$x=0$$, а $$\sin 0=0\ne 1$$.
Следовательно, корней нет.
$$\left(\frac45\right)^x=\cos x,\quad (-\infty;0]$$
Функция $$y=\left(\frac45\right)^x$$ убывает на всей числовой прямой, поэтому при $$x\le 0$$
$$\left(\frac45\right)^x\ge \left(\frac45\right)^0=1.$$
С другой стороны, $$\cos x\le 1$$ для всех $$x$$. Равенство возможно при $$x=0$$:
$$\left(\frac45\right)^0=1,\qquad \cos 0=1.$$
Значит, корень один.
$$7^x=\cos x,\quad [0;+\infty)$$
Функция $$y=7^x$$ возрастает, и при $$x\ge 0$$
$$7^x\ge 7^0=1.$$
Но $$\cos x\le 1$$. Равенство возможно только при $$x=0$$:
$$7^0=1,\qquad \cos 0=1.$$
Следовательно, корень один.
$$\log_3 x=\sin x,\quad (0;3]$$
На промежутке $$0<x\le 3$$ функция $$y=\log_3 x$$ возрастает и принимает значения от $$-\infty$$ до $$1$$, а функция $$y=\sin x$$ ограничена: $$-1\le \sin x\le 1$$.
По графикам видно, что на промежутке $$(0;3]$$ эти функции пересекаются ровно один раз.
Значит, корень один.
Ответ: а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.
