Упр.27.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x}=\ln x$$; б) $$\sqrt{x-2}=\frac{9}{x}$$.

а) Рассмотрим функции $$y=1-\sqrt{x}$$ и $$y=\ln x.$$

Область определения обеих функций: $$x>0.$$

Найдём точку пересечения графиков. При $$x=1$$ получаем:

$$1-\sqrt{1}=0,\qquad \ln 1=0.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$\left(1,0\right).$$

Проверим, есть ли другие решения. При $$x>1$$ имеем $$1-\sqrt{x}<0,$$ а $$\ln x>0$$ при $$x>1,$$ поэтому равенство невозможно. При $$0<x<1$$ наоборот, $$1-\sqrt{x}>0,$$ а $$\ln x<0,$$ значит, равенство тоже невозможно.

Следовательно, единственное решение:

$$x=1.$$

б) Рассмотрим функции $$y=\sqrt{x}-2$$ и $$y=\dfrac{9}{x}.$$

Область определения: $$x>0.$$

При $$x=9$$ получаем:

$$\sqrt{9}-2=1,\qquad \dfrac{9}{9}=1.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$\left(9,1\right).$$

Проверим, может ли быть другое решение. При $$0<x<9$$ функция $$\sqrt{x}-2<1,$$ а $$\dfrac{9}{x}>1.$$ При $$x>9$$ наоборот, $$\sqrt{x}-2>1,$$ а $$\dfrac{9}{x}<1.$$ Поэтому других точек пересечения нет.

$$x=9.$$