Упр.27.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(x-1)^2=\log_2(x);$$
б) $$\log_{\frac{1}{2}}(x)=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2.$$

а) Рассмотрим функции $$y=(x-1)^2$$ и $$y=\log_2 x.$$

Область определения логарифма: $$x>0.$$

Найдём точки пересечения графиков:

$$(x-1)^2=\log_2 x.$$

Проверим простые значения:

при $$x=1$$ имеем $$(1-1)^2=0$$ и $$\log_2 1=0;$$

при $$x=2$$ имеем $$(2-1)^2=1$$ и $$\log_2 2=1.$$

Значит, графики пересекаются в точках $$x=1$$ и $$x=2.$$

б) Рассмотрим функции $$y=\log_{1/2} x$$ и $$y=\left(x+\frac12\right)^2.$$

Область определения логарифма: $$x>0.$$

Найдём точку пересечения:

$$\log_{1/2} x=\left(x+\frac12\right)^2.$$

Проверим значение $$x=\frac12$$:

$$\log_{1/2}\frac12=1,\qquad \left(\frac12+\frac12\right)^2=1.$$

Следовательно, $$x=\frac12$$ — решение уравнения.

Ответ

а) $$x_1=1,\; x_2=2.$$
б) $$x=\frac12.$$