Упр.27.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 27.21. Решите уравнение, используя функционально-графические методы: а) $$x=\sqrt[3]{x}$$; б) $$|x|=\sqrt[5]{x}$$.

а) Построим графики функций $$y=x$$ и $$y=\sqrt[3]{x}.$$

Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению

$$x=\sqrt[3]{x}.$$

Возведём обе части в куб:

$$x^3=x.$$

$$x^3-x=0$$

$$x(x^2-1)=0$$

$$x(x-1)(x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=-1,\;0,\;1.$$

б) Построим графики функций $$y=|x|$$ и $$y=\sqrt[5]{x}.$$

Точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$|x|=\sqrt[5]{x}.$$

Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной, значит $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x,$$ и уравнение принимает вид

$$x=\sqrt[5]{x}.$$

Возведём обе части в пятую степень:

$$x^5=x$$

$$x^5-x=0$$

$$x(x^4-1)=0$$

$$x(x^2-1)(x^2+1)=0.$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем

$$x=0,\;1.$$

Ответ

а) $$x=-1,\;0,\;1.$$
б) $$x=0,\;1.$$