Упр.27.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Введём новую переменную $$y=\lg x.$$ Тогда уравнение примет вид

$$\lg^2 x+\lg 10x-6=0$$
$$(\lg x)^2+\lg 10+\lg x-6=0$$
$$y^2+1+y-6=0$$
$$y^2+y-5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+20=21,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$

Тогда

$$\lg x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad \lg x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}.$$

Следовательно,

$$x=10^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}}\quad \text{или}\quad x=10^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}.$$

Ответ: $$10^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}},\ 10^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}.$$

б) Пусть $$y=3^x.$$ Тогда

$$3^x+3^{-x+1}=4$$
$$y+\frac{3}{y}=4$$
$$y^2-4y+3=0.$$

Решим уравнение:

$$D=16-12=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\quad y_2=3.$$

Тогда

$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$0,\ 1.$$

в) Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$
$$2y^2-7y-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=49+32=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac12,\quad y_2=4.$$

Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ значение $$y_2=4$$ не подходит. Остаётся

$$\cos x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) Пусть $$y=5^{\sqrt{x}}.$$ Тогда

$$5^{2\sqrt{x}}+125=6\cdot 5^{\sqrt{x}+1}$$
$$y^2+125=30y$$
$$y^2-30y+125=0.$$

Решим уравнение:

$$D=900-500=400,$$
$$y_{1,2}=\frac{30\pm 20}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=5,\quad y_2=25.$$

Тогда

$$5^{\sqrt{x}}=5 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1,$$
$$5^{\sqrt{x}}=25 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

Ответ: $$1,\ 4.$$