Упр.27.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 027.27. Решите уравнение:
   а) $$x^3-6x^2+11x-6=0$$;
   б) $$x^3+7x^2-6=0$$;
   в) $$x^3+2x^2+3x+6=0$$;
   г) $$x^3+4x^2-24=0$$.

а) Разложим многочлен на множители:

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3).$$

Тогда

$$(x-1)(x-2)(x-3)=0,$$

откуда

$$x=1,\;2,\;3.$$

б) Вынесем общий множитель:

$$x^3+7x^2-6=(x+1)(x^2+6x-6).$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2+6x-6=0,$$

$$D=6^2-4\cdot1\cdot(-6)=36+24=60.$$

Тогда

$$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2}=-3\pm\sqrt{15}.$$

С учётом множителя $$x+1=0$$ получаем

$$x=-1,\;-3-\sqrt{15},\;-3+\sqrt{15}.$$

в) Вынесем общий множитель:

$$x^3+2x^2+3x+6=x^2(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x^2+3).$$

Тогда

$$(x+2)(x^2+3)=0.$$

Так как $$x^2+3=0$$ не имеет действительных корней, то

$$x=-2.$$

г) Разложим на множители:

$$x^3+4x^2-24=(x-2)(x^2+6x+12).$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2+6x+12=0,$$

$$D=6^2-4\cdot1\cdot12=36-48=-12<0.$$

Значит, действительных корней у квадратного множителя нет, поэтому

$$x=2.$$

Ответ

а) $$1,\;2,\;3$$; б) $$-1,\;-3-\sqrt{15},\;-3+\sqrt{15}$$; в) $$-2$$; г) $$2$$.