Упр.27.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Проверим, равносильны ли уравнения вида $$h(f(x))=h(g(x))$$ и $$f(x)=g(x)$$ в каждом случае.

1. $$\left(2x^4+1\right)^5=\left(1-x^3\right)^5.$$

   Функция $$y=x^5$$ монотонна на $$\mathbb{R}$$, значит, можно приравнять основания:

   $$2x^4+1=1-x^3.$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

   Ответ: да.

2. $$\log_{0,2}(2\sin x-1)=\log_{0,2}(3-\sin^2 x).$$

   Функция $$y=\log_{0,2}x$$ монотонна, поэтому нужно решить уравнение

   $$2\sin x-1=3-\sin^2 x.$$

   Получаем:

   $$\sin^2 x+2\sin x-4=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20,$$

   $$\sin x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5.$$

   Из найденных значений подходит только $$\sin x=\sqrt5-1,$$ так как $$-1-\sqrt5<-1.$$

   При этом область определения выполняется: $$2\sin x-1>0$$ и $$3-\sin^2 x>0.$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

   Ответ: да.

3. $$\sqrt[6]{2^x-1}=\sqrt[6]{5-3\cdot 2^x}.$$

   Функция $$y=\sqrt[6]{x}$$ монотонна на своей области определения, поэтому приравниваем подкоренные выражения:

   $$2^x-1=5-3\cdot 2^x.$$

   $$4\cdot 2^x=6,$$

   $$2^x=\frac32.$$

   Область определения выполняется: $$2^x-1\ge 0$$ и $$5-3\cdot 2^x\ge 0.$$

   Значит, уравнения равносильны.

   Ответ: да.

4. $$\cos(3^x-1)=\cos(3-9^x).$$

   Функция $$y=\cos x$$ не является монотонной, поэтому из равенства значений не следует равенство аргументов.

   Уравнения не равносильны.

   Ответ: нет.