Упр.27.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$7^{2x+1}-50\cdot 7^x=-7$$

$$7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^x+7=0$$

Пусть $$y=7^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:

$$7y^2-50y+7=0$$

$$D=50^2-4\cdot 7\cdot 7=2500-196=2304$$

$$y_{1,2}=\frac{50\pm 48}{2\cdot 7}$$

$$y_1=\frac{2}{14}=\frac17,\qquad y_2=\frac{98}{14}=7$$

Тогда:

$$7^x=\frac17 \Rightarrow 7^x=7^{-1}\Rightarrow x=-1$$

$$7^x=7 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$-1;\ 1$$

б) $$\log_2^2 x+12=7\log_2 x$$

Пусть $$y=\log_2 x$$, тогда:

$$y^2+12=7y$$

$$y^2-7y+12=0$$

$$D=7^2-4\cdot 12=49-48=1$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}$$

$$y_1=3,\qquad y_2=4$$

Тогда:

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8$$

$$\log_2 x=4 \Rightarrow x=2^4=16$$

Ответ: $$8;\ 16$$

в) $$4\sin^2 x+4=17\sin x$$

Пусть $$y=\sin x$$, тогда:

$$4y^2+4=17y$$

$$4y^2-17y+4=0$$

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$

$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2\cdot 4}$$

$$y_1=\frac14,\qquad y_2=4$$

Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, значение $$\sin x=4$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sin x=\frac14$$

$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$

Пусть $$y=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$\sqrt[3]{x}=y^2$$. Получаем:

$$y^2-y-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=2$$

Так как $$y\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит.

Тогда:

$$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=2^6=64$$

Ответ: $$64$$