Упр.27.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2x+2(1-x)=3$$; в) $$5x+4=5(2x+1)$$; б) $$25(-x)-50=5(-x+1)$$; г) $$3(x+1)-29=-18\cdot3(-x)$$.
а) Введём новую переменную: $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда $$2^{1-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{y}.$$ Получаем:
$$y+\frac{2}{y}=3.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-3y+2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$
$$y_1=1,\quad y_2=2.$$
Тогда:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
б) Введём новую переменную: $$y=5^{-x},\quad y>0.$$ Тогда $$25^{-x}=(5^2)^{-x}=5^{-2x}=y^2,$$ а $$5^{-x+1}=5\cdot 5^{-x}=5y.$$ Получаем:
$$y^2-5y-50=0.$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot (-50)=225,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 15}{2}.$$
$$y_1=-5,\quad y_2=10.$$
Так как $$y>0,$$ значение $$y_1=-5$$ не подходит. Тогда
$$5^{-x}=10,$$
$$-x=\log_5 10,$$
$$x=-\log_5 10.$$
в) Введём новую переменную: $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда $$5^{2x}=y^2.$$ Получаем:
$$5y^2-y-4=0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot (-4)=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 9}{10}.$$
$$y_1=-\frac45,\quad y_2=1.$$
Так как $$y>0,$$ значение $$y_1$$ не подходит. Тогда
$$5^x=1 \Rightarrow x=0.$$
г) Введём новую переменную: $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда $$3^{-x}=\frac{1}{3^x}=\frac{1}{y}.$$ Получаем:
$$3y-29+\frac{18}{y}=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$3y^2-29y+18=0.$$
$$D=29^2-4\cdot 3\cdot 18=625,$$
$$y_{1,2}=\frac{29\pm 25}{6}.$$
$$y_1=\frac23,\quad y_2=9.$$
Тогда:
$$3^x=\frac23 \Rightarrow x=\log_3\frac23=\log_3 2-1,$$
$$3^x=9 \Rightarrow x=2.$$
Ответ
а) $$0; 1.$$ б) $$-\log_5 10.$$ в) $$0.$$ г) $$\log_3 2-1; 2.$$
