Упр.27.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 27.17. Решите уравнение методом введения новой переменной:
   а) $$8x^6+7x^3-1=0$$;
   б) $$x^8+3x^4-4=0$$.

Пусть $$y=x^3.$$ Тогда уравнение

$$8x^6+7x^3-1=0$$

примет вид

$$8y^2+7y-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=7^2-4\cdot 8\cdot(-1)=49+32=81.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2\cdot 8}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{-7-9}{16}=-1,\qquad y_2=\frac{-7+9}{16}=\frac18.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^3=-1 \Rightarrow x=-1,$$

$$x^3=\frac18 \Rightarrow x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=-1,\ \frac12.$$

Пусть $$y=x^4.$$ Тогда уравнение

$$x^8+3x^4-4=0$$

примет вид

$$y^2+3y-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-4,\qquad y_2=1.$$

Так как $$y=x^4\ge 0,$$ значение $$y=-4$$ не подходит. Остаётся

$$x^4=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Ответ: а) $$-1,\ \frac12$$; б) $$\pm 1$$.