Упр.27.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin 2x=\sin x$$;
2. б) $$\cos^2(\pi-x)+\sin 2x=0$$;
3. в) $$\sqrt{\cos 3x}=\sin 6x$$;
4. г) $$\sin^2\left(\pi+\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}\sin x=0$$.

а) $$\sin 2x=\sin x$$

$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

$$\sin x(2\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2(\pi-x)+\sin 2x=0$$

Так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ то

$$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x+2\sin x)=0.$$

Отсюда:

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x+2\sin x=0 \Rightarrow 1+2\tan x=0 \Rightarrow \tan x=-\frac12.$$

Значит,

$$x=-\arctan \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=-\arctan \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sqrt3\cos 3x=\sin 6x$$

$$\sqrt3\cos 3x=2\sin 3x\cos 3x$$

$$\cos 3x(\,2\sin 3x-\sqrt3\,)=0.$$

Отсюда:

1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin 3x-\sqrt3=0 \Rightarrow \sin 3x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin^2\left(\pi+\frac{x}{2}\right)-\frac12\sin x=0$$

Так как $$\sin\left(\pi+\frac{x}{2}\right)=-\sin\frac{x}{2},$$ получаем

$$\sin^2\frac{x}{2}-\frac12\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \tan\frac{x}{2}=1.$$

Значит,

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$