Упр.27.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 27.15. Решите уравнение:
   а) $$2x^2\sin x-8\sin x+4=x^2$$;
   б) $$2x^2\cos x+9=18\cos x+x^2$$.

а) $$2x^2\sin x-8\sin x+4=x^2$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$2x^2\sin x-8\sin x+4-x^2=0$$

$$2\sin x(x^2-4)-(x^2-4)=0$$

$$\left(2\sin x-1\right)\left(x^2-4\right)=0$$

Отсюда:

$$2\sin x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-4=0$$

1) $$\sin x=\frac12$$

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

Итак,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\quad x=\pm 2.$$

б) $$2x^2\cos x+9=18\cos x+x^2$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$2x^2\cos x-18\cos x+9-x^2=0$$

$$2\cos x(x^2-9)-(x^2-9)=0$$

$$\left(2\cos x-1\right)\left(x^2-9\right)=0$$

Отсюда:

$$2\cos x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-9=0$$

1) $$\cos x=\frac12$$

$$x=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x^2=9$$

$$x=\pm 3$$

Итак,

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\quad x=\pm 3.$$