Упр.27.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=1$$; б) $$\log_{1{,}2}(3x-1)+\log_{1{,}2}(3x+1)=\log_{1{,}2}(8)$$.

а) Объединим логарифмы с одинаковым основанием:

$$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=1.$$

Тогда

$$\frac{7x+9}{8-x}=\frac{2}{3}.$$

Решим уравнение:

$$\begin{aligned} 3(7x+9)&=2(8-x),\\ 21x+27&=16-2x,\\ 23x&=-11,\\ x&=-\frac{11}{23}. \end{aligned}$$

Проверим область допустимых значений:

$$7x+9>0,\quad 8-x>0.$$

При $$x=-\frac{11}{23}$$ оба неравенства выполняются, значит, это корень уравнения.

б) Сложим логарифмы:

$$\log_{1,2}(3x-1)+\log_{1,2}(3x+1)=\log_{1,2}8.$$

Получаем

$$\log_{1,2}\bigl((3x-1)(3x+1)\bigr)=\log_{1,2}8,$$

откуда

$$\begin{aligned} (3x-1)(3x+1)&=8,\\ 9x^2-1&=8,\\ 9x^2&=9,\\ x^2&=1,\\ x&=\pm 1. \end{aligned}$$

Проверим область допустимых значений:

$$3x-1>0,\quad 3x+1>0,$$

то есть $$x>\frac13.$$

Подходит только $$x=1.$$

Ответ: а) $$-\frac{11}{23}$$; б) $$1$$.