Упр.27.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\tg x}=\frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}.$$

Представим правую часть в виде степени с основанием $$\sqrt{3}$$:

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\tg x}=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2\tg x}}=\left(\sqrt{3}\right)^{2+1-2\tg x}.$$

Тогда показатели степеней равны:

$$\tg x=2+1-2\tg x,$$

$$3\tg x=3,$$

$$\tg x=1.$$

Отсюда

$$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}.$$

Запишем правую часть через основание $$\sqrt{2}$$:

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^0}{\left(\sqrt{2}\right)^2\cdot \left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}}=\left(\sqrt{2}\right)^{0-2-2\cos x}.$$

Следовательно,

$$2\cos x=0-2-2\cos x,$$

$$4\cos x=-2,$$

$$\cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \arccos\left(-\frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$