Упр.27.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Проверим, будут ли уравнения вида $$h(f(x))=h(g(x))$$ равносильны уравнению $$f(x)=g(x)$$.

1. $$3^{2-x}=3^{x^2-4x}$$

   Функция $$y=3^x$$ монотонна, значит, можно приравнять показатели:

   $$2-x=x^2-4x$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

   Ответ: да.

2. $$\left(3x^2-2\right)^4=(x-3)^4$$

   Функция $$y=x^4$$ не является монотонной, поэтому из равенства четвёртых степеней не следует равенство оснований.

   Ответ: нет.

3. $$\sqrt[3]{7-x}=\sqrt[3]{5x+1}$$

   Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ монотонна, значит, можно приравнять подкоренные выражения:

   $$7-x=5x+1$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

   Ответ: да.

4. $$\lg\frac{1}{x}=\lg(2x-7)$$

   Функция $$y=\lg x$$ монотонна, но нужно учитывать область определения:

   $$\frac{1}{x}>0,\qquad 2x-7>0$$

   Отсюда $$x>0$$ и $$x>\frac{7}{2}$$, значит, $$x>\frac{7}{2}$$.

   Тогда можно приравнять аргументы:

   $$\frac{1}{x}=2x-7$$

   $$2x^2-7x-1=0$$

   $$D=49+8=57$$

   Корни этого уравнения не удовлетворяют области определения одновременно, поэтому исходные уравнения не равносильны.

   Ответ: нет.