Упр.26.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 26.9. Докажите, что уравнение не имеет корней:
   а) $$\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}$$;
   б) $$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно и проверим область допустимых значений.

а)

$$\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}$$

Чтобы уравнение имело смысл, нужно:

$$3x-5\ge 0,\qquad 9-7x\ge 0.$$

Тогда

$$x\ge \frac{5}{3},\qquad x\le \frac{9}{7}.$$

Но одновременно эти неравенства выполняться не могут, так как

$$\frac{5}{3}>\frac{9}{7}.$$

Следовательно, область допустимых значений пуста, значит, уравнение корней не имеет.

б)

$$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4$$

Для существования корней подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$$x^2-4\ge 0,\qquad 1-x^2\ge 0.$$

Отсюда

$$|x|\ge 2,\qquad |x|\le 1.$$

Эти условия несовместимы, значит, уравнение не определено ни при каких значениях $$x$$.

Следовательно, корней нет.

Ответ

а) корней нет; б) корней нет.