Упр.26.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$
• б) $$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$

Проверим, можно ли перейти от дробного уравнения к уравнению без дроби умножением на знаменатель.

а)

$$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$

Знаменатель всегда положителен:

$$x^2+1>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R}$$, значит, умножать на него можно.

Умножим обе части уравнения на $$x^2+1$$:

$$x^2+3x-1=3(x^2+1)$$

$$x^2+3x-1=3x^2+3$$

Следовательно, уравнения равносильны.

б)

$$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$

Знаменатель не обращается в ноль, если

$$\sin x+2\ne 0$$

Но так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то

$$\sin x+2\ge 1>0$$

для любого $$x\in \mathbb{R}$$. Значит, можно умножить обе части уравнения на $$\sin x+2$$:

$$\sin x+1=0{,}5(\sin x+2)$$

$$\sin x+1=0{,}5\sin x+1$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ

а) да; б) да.