Упр.26.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 26.7. Равносильны ли уравнения:
   а) $$3^{\sqrt{x+4}}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x=1$$; $$\sqrt{0,5x}\cdot 2^{x^2}\sqrt{2}=4$$ и $$x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=2$$?

Преобразуем каждое уравнение к одинаковому основанию.

а)

$$3^{\sqrt{x}+4}\cdot \left(\frac13\right)^x=1$$

$$3^{\sqrt{x}+4}\cdot 3^{-x}=3^0$$

$$3^{\sqrt{x}+4-x}=3^0$$

Так как основания равны и $$3\neq 1$$, получаем:
$$\sqrt{x}+4-x=0.$$

Это и есть второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да.

б)

$$\sqrt{0{,}5^x}\cdot 2^{x^2}\cdot \sqrt{2}=4$$

$$\left(\frac12\right)^{\frac{x}{2}}\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{\frac12}=4$$

$$2^{-\frac{x}{2}}\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{\frac12}=2^2$$

$$2^{x^2-\frac{x}{2}+\frac12}=2^2$$

Отсюда:
$$x^2-\frac{x}{2}+\frac12=2.$$

Это совпадает со вторым уравнением, значит, уравнения равносильны.

Ответ: да.