Упр.26.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Объясните, почему равносильны уравнения:
   а) $$x^3-12x^2+1=0$$ и $$x^3+1=12x^2$$;
   б) $$\sqrt[5]{x^2-2x-3}=2$$ и $$x^2-2x-3=32$$.

а) Перенесём $$12x^2$$ из правой части во левую:

$$x^{37}+1=12x^2$$

$$x^{37}-12x^2+1=0$$

Получили первое уравнение, значит, уравнения равносильны.

б) Возведём обе части первого уравнения в пятую степень:

$$\sqrt[5]{x^2-2x-3}=2$$

$$\left(\sqrt[5]{x^2-2x-3}\right)^5=2^5$$

$$x^2-2x-3=32$$

Получили второе уравнение, значит, уравнения равносильны.

Ответ

В обоих пунктах уравнения равносильны, так как одно получается из другого с помощью равносильных преобразований: переноса слагаемого в другую часть и возведения обеих частей в пятую степень.