Упр.26.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Равносильно ли уравнение $$\sin x=0$$ уравнению: а) $$\cos x=1$$; в) $$\cos 2x=1$$; б) $$\operatorname{tg}x=0$$; г) $$\sqrt{x-1}\cdot\sin x=0$$?

Решим уравнение $$\sin x=0.$$ Его решения:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

1. $$\cos x=1.$$

   Тогда

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Это не совпадает со всеми решениями $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.

2. $$\tg x=0.$$

   Тогда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Это совпадает с решениями $$\sin x=0$$, значит, уравнения равносильны.

3. $$\cos 2x=1.$$

   Тогда

   $$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Это совпадает с решениями $$\sin x=0$$, значит, уравнения равносильны.

4. $$\sqrt{x-1}\cdot \sin x=0.$$

   Область определения: $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

   Произведение равно нулю, если

   $$\sqrt{x-1}=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   Отсюда получаем решения:

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\ x\ge 1.$$

   Есть лишнее решение $$x=1$$, которое не является решением $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.