Упр.26.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\lg(x^2-10x+25)\cdot \log_{11}(3x-5)\cdot \log_{12}(x^2-4x+4)=0.$$

Так как $$x^2-10x+25=(x-5)^2,\quad x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ получаем

$$\lg (x-5)^2\cdot \log_{11}(3x-5)\cdot \log_{12}(x-2)^2=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\lg (x-5)^2=0 \;\Rightarrow\; (x-5)^2=1 \;\Rightarrow\; x=6,\; x=4;$$

$$\log_{11}(3x-5)=0 \;\Rightarrow\; 3x-5=1 \;\Rightarrow\; x=2;$$

$$\log_{12}(x-2)^2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)^2=1 \;\Rightarrow\; x=3,\; x=1.$$

Проверим область определения:

$$3x-5>0 \;\Rightarrow\; x>\frac53.$$

Значит, значение $$x=1$$ не подходит.

Сумма корней:

$$S=6+4+3+2=15.$$

Ответ: $$15$$.

б) $$\log_3(x^2-12x+36)\cdot \log_5(3x-8)\cdot \log_6(x^2-6x+9)=0.$$

Так как $$x^2-12x+36=(x-6)^2,\quad x^2-6x+9=(x-3)^2,$$ имеем

$$\log_3(x-6)^2\cdot \log_5(3x-8)\cdot \log_6(x-3)^2=0.$$

Тогда:

$$\log_3(x-6)^2=0 \;\Rightarrow\; (x-6)^2=1 \;\Rightarrow\; x=7,\; x=5;$$

$$\log_5(3x-8)=0 \;\Rightarrow\; 3x-8=1 \;\Rightarrow\; x=3;$$

$$\log_6(x-3)^2=0 \;\Rightarrow\; (x-3)^2=1 \;\Rightarrow\; x=4,\; x=2.$$

Область определения:

$$3x-8>0 \;\Rightarrow\; x>\frac83.$$

Значит, значение $$x=2$$ не подходит.

Сумма корней:

$$S=7+5+4=16.$$

Ответ: $$16$$.