Упр.26.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим произведение в числителе:

$$\lg(7x-x^2-9)\cdot \lg(9-2x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\lg(7x-x^2-9)=0 \quad \text{или} \quad \lg(9-2x)=0.$$

1) $$\lg(7x-x^2-9)=0 \Rightarrow 7x-x^2-9=1.$$

$$x^2-7x+10=0,$$

$$D=49-40=9,$$

$$x_1=\frac{7-3}{2}=2,\qquad x_2=\frac{7+3}{2}=5.$$

Проверим область допустимых значений:

$$7x-x^2-9>0,\qquad 9-2x>0,\qquad x\ne 2.$$

При $$x=2$$ логарифм не определён, значит этот корень не подходит. При $$x=5$$ имеем $$9-2\cdot 5=-1<0$$, тоже не подходит.

2) $$\lg(9-2x)=0 \Rightarrow 9-2x=1,$$

$$2x=8,\qquad x=4.$$

Проверка:

$$7\cdot 4-4^2-9=3>0,\qquad 9-2\cdot 4=1>0,\qquad 4\ne 2.$$

Значит, $$x=4$$ — корень уравнения.

б) Аналогично:

$$\frac{\lg(8x-x^2-14)\cdot \lg(13-3x)}{x-3}=0.$$

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$\lg(8x-x^2-14)=0 \quad \text{или} \quad \lg(13-3x)=0,\qquad x\ne 3.$$

1) $$\lg(8x-x^2-14)=0 \Rightarrow 8x-x^2-14=1,$$

$$x^2-8x+15=0,$$

$$D=64-60=4,$$

$$x_1=\frac{8-2}{2}=3,\qquad x_2=\frac{8+2}{2}=5.$$

Корень $$x=3$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Корень $$x=5$$ проверяем:

$$13-3\cdot 5=-2<0,$$

значит, он не подходит.

2) $$\lg(13-3x)=0 \Rightarrow 13-3x=1,$$

$$3x=12,\qquad x=4.$$

Проверка:

$$8\cdot 4-4^2-14=2>0,\qquad 13-3\cdot 4=1>0,\qquad 4\ne 3.$$

Следовательно, $$x=4$$.

Ответ: а) $$4$$; б) $$4$$.