Упр.26.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) Найдите сумму натуральных значений параметра $$a$$, при которых уравнение $$\left(\sqrt{x-4}-2\right)(x-a)=0$$ имеет единственный корень. б) Сколько имеется натуральных значений параметра $$a$$, при которых уравнение $$\left(\log_3(2x-11)-1\right)(x^2-a^2)=0$$ имеет единственный корень?

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x-4}-2\right)(x-a)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{x-4}-2=0 \quad \text{или} \quad x-a=0.$$

Из первого уравнения получаем:

$$\sqrt{x-4}=2,$$

$$x-4=4,$$

$$x=8.$$

Из второго уравнения:

$$x=a.$$

Область допустимых значений:

$$x-4\ge 0,\quad x\ge 4.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы второй корень либо совпадал с первым, либо не входил в ОДЗ.

Значит:

$$a=8 \quad \text{или} \quad a<4.$$

Натуральные значения параметра:

$$a=1,2,3,8.$$

Их сумма:

$$1+2+3+8=14.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\log_3(2x-11)-1\right)(x^2-a^2)=0.$$

Произведение равно нулю, если

$$\log_3(2x-11)-1=0 \quad \text{или} \quad x^2-a^2=0.$$

Из первого уравнения:

$$\log_3(2x-11)=1,$$

$$2x-11=3,$$

$$x=7.$$

Из второго уравнения:

$$x^2-a^2=0,$$

$$x=\pm a.$$

ОДЗ логарифма:

$$2x-11>0,\quad x>\frac{11}{2}.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы из чисел $$7,\ a,\ -a$$ только одно удовлетворяло ОДЗ и было корнем уравнения.

Проверим натуральные значения $$a$$:

при $$a=1,2,3,4,5$$ числа $$a$$ и $$-a$$ не подходят, остаётся только корень $$x=7$$;
при $$a=6$$ корни $$x=\pm 6$$ дают только $$x=6$$, а вместе с $$x=7$$ получается два корня;
при $$a=7$$ корни второго уравнения: $$x=7$$ и $$x=-7$$, но по ОДЗ подходит только $$x=7$$, значит корень единственный;
при $$a>7$$ число $$a$$ тоже подходит по ОДЗ, поэтому корней становится больше одного.

Следовательно, подходят значения

$$a=1,2,3,4,5,7.$$

Их количество равно $$6$$.