Упр.26.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите целочисленный корень уравнения:
а) $$\log_2(7+6x-x^2)-\frac{\log_2(x-2)}{10x-24-x^2}=2$$;
б) $$\frac{\log_{12}(6+5x-x^2)}{x^2-9x+20}=2^{\sqrt{x-2}}$$.
Рассмотрим каждый пункт отдельно.
а)
Найдём область допустимых значений:
$$\begin{aligned} 7+6x-x^2 > 0,\\ x-2 > 0,\\ 10x-24-x^2 &ne 0. \end{aligned}$$
Из первого неравенства:
$$x^2-6x-7<0,\qquad (x+1)(x-7)<0,$$
откуда
$$-1<x<7.$$
Из второго неравенства:
$$x>2.$$
Из третьего:
$$10x-24-x^2\ne 0,\qquad x^2-10x+24\ne 0,$$
$$(x-4)(x-6)\ne 0,\qquad x\ne 4,\; x\ne 6.$$
Следовательно, целые значения из ОДЗ: $$x=3$$ и $$x=5$$.
Проверим их.
$$x=3:\quad \frac{\log_2(7+6\cdot 3-3^2)-\log_2(3-2)}{10\cdot 3-24-3^2} =\frac{\log_2 16-\log_2 1}{-3} =\frac{4-0}{-3}\ne 2.$$
$$x=5:\quad \frac{\log_2(7+6\cdot 5-5^2)-\log_2(5-2)}{10\cdot 5-24-5^2} =\frac{\log_2 12-\log_2 3}{1} =\log_2 4=2.$$
Значит, корень уравнения: $$x=5$$.
б)
Найдём область допустимых значений:
$$\begin{aligned} 6+5x-x^2 > 0,\\ x > 2,\\ x^2-9x+20 &ne 0. \end{aligned}$$
Из первого неравенства:
$$x^2-5x-6<0,\qquad (x-6)(x+1)<0,$$
откуда
$$-1<x<6.$$
Из второго неравенства:
$$x>2.$$
Из третьего:
$$x^2-9x+20\ne 0,\qquad (x-4)(x-5)\ne 0,$$
$$x\ne 4,\; x\ne 5.$$
Следовательно, целые значения из ОДЗ: $$x=2$$ и $$x=3$$.
Проверим их.
$$x=2:\quad \frac{\log_{12}(6+5\cdot 2-2^2)}{2^2-9\cdot 2+20} =2^{-\sqrt{2-2}}$$
$$\frac{\log_{12}12}{6}=2^0,\qquad \frac{1}{6}\ne 1.$$
Значит, $$x=2$$ не подходит.
$$x=3:\quad \frac{\log_{12}(6+5\cdot 3-3^2)}{3^2-9\cdot 3+20} =2^{-\sqrt{3-2}}$$
$$\frac{\log_{12}12}{2}=2^{-1},\qquad \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
Значит, $$x=3$$ — корень уравнения.
Ответ: а) $$5$$; б) $$3$$.
