Упр.26.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin 2x\sqrt{4-x^2}=0$$; б) $$(\cos 2x-1)\sqrt{9-x^2}=0$$; в) $$(\cos^2 x-\sin^2 x)\sqrt{1-x^2}=0$$; г) $$\tg x\sqrt{16-x^2}=0$$.

а) $$\sin 2x\cdot \sqrt{4-x^2}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, при условии существования корня:

$$4-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

1) $$\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n,\; n\in \mathbb Z,\; x=\frac{\pi n}{2}.$$

Из условия $$-2\le x\le 2$$ получаем:

$$-2\le \frac{\pi n}{2}\le 2 \;\Rightarrow\; -\frac{4}{\pi}\le n\le \frac{4}{\pi}.$$

Подходят только $$n=-1,0,1,$$ значит

$$x=-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2}.$$

2) $$4-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2.$$

Итак,

Ответ: $$-2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2},\;2.$$

б) $$\left(\cos 2x-1\right)\sqrt{9-x^2}=0.$$

Область существования корня:

$$9-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -3\le x\le 3.$$

1) $$\cos 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=1 \;\Rightarrow\; 2x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z,\; x=\pi n.$$

Из условия $$-3\le x\le 3$$ получаем $$n=-1,0,1,$$ то есть

$$x=-\pi,\;0,\;\pi.$$

Но в пределах $$[-3,3]$$ лежит только $$x=0$$, так как $$\pi>3.$$

2) $$9-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.$$

Ответ: $$-3,\;0,\;3.$$

в) $$\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)\sqrt{1-x^2}=0.$$

Область существования корня:

$$1-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1.$$

1) $$\cos^2 x-\sin^2 x=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Из условия $$-1\le x\le 1$$ подходят только

$$x=-\frac{\pi}{4},\;\frac{\pi}{4}.$$

2) $$1-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$

Ответ: $$-1,\;-\frac{\pi}{4},\;\frac{\pi}{4},\;1.$$

г) $$\tg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0.$$

Область существования корня:

$$16-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -4\le x\le 4.$$

1) $$\tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Из условия $$-4\le x\le 4$$ получаем $$n=-1,0,1,$$ значит

$$x=-\pi,\;0,\;\pi.$$

2) $$16-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 4.$$

Ответ: $$-4,\;-\pi,\;0,\;\pi,\;4.$$