Упр.26.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$; в) $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2$$; б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$; г) $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1$$.
а) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x-1=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$
Тогда
$$2x^2-3x-2=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=2.$$
Проверка:
при $$x=-\frac12$$ правая часть $$x^2-1=-\frac34<0,$$ значит, корень не подходит;
при $$x=2$$ имеем $$\sqrt{2^4-3\cdot 2-1}=\sqrt{9}=3,$$ а $$2^2-1=3,$$ значит, подходит.
Ответ: $$2.$$
б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x-1=(1-x^2)^2=x^4-2x^2+1.$$
Тогда
$$2x^2-3x-2=0.$$
$$D=25,\qquad x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=2.$$
Проверка:
при $$x=-\frac12$$ правая часть $$1-x^2=\frac34>0,$$ но левая часть
$$\sqrt{\left(-\frac12\right)^4-3\left(-\frac12\right)-1}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac34,$$
значит, корень подходит;
при $$x=2$$ правая часть $$1-2^2=-3<0,$$ значит, корень не подходит.
Ответ: $$-\frac12.$$
в) $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2.$$
Так как правая часть должна быть неотрицательной, то
$$1-x^2\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4+x-9=(1-x^2)^2=x^4-2x^2+1.$$
Тогда
$$2x^2+x-10=0.$$
$$D=1+80=81,\qquad x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac52,\qquad x_2=2.$$
Проверка:
при $$x=-\frac52$$ правая часть $$1-x^2=1-\frac{25}{4}=-\frac{21}{4}<0,$$ не подходит;
при $$x=2$$ имеем $$\sqrt{2^4+2-9}=\sqrt{9}=3,$$ а $$1-2^2=-3,$$ не подходит.
Ответ: корней нет.
г) $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1.$$
Так как правая часть должна быть неотрицательной, то
$$x^2-1\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4+x-9=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$
Тогда
$$2x^2+x-10=0.$$
$$D=81,\qquad x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac52,\qquad x_2=2.$$
Проверка:
при $$x=-\frac52$$ правая часть $$x^2-1=\frac{21}{4}$$, и
$$\sqrt{\left(-\frac52\right)^4-\frac52-9}=\sqrt{\frac{441}{16}}=\frac{21}{4},$$
значит, подходит;
при $$x=2$$ имеем $$\sqrt{2^4+2-9}=\sqrt{9}=3,$$ а $$2^2-1=3,$$ значит, подходит.
Ответ: $$-\frac52,\ 2.$$
