Упр.26.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Равносильно ли уравнение $$2^x=256$$ уравнению:
   а) $$\log_2 x=3$$;
   б) $$x^2-9x+8=0$$;
   в) $$x^2-24x=0$$;
   г) $$\frac{16}{x}=2$$?

Найдём сначала корень исходного уравнения:

$$2^x=256=2^8,$$

значит, $$x=8.$$

Проверим, равносильны ли ему данные уравнения, то есть имеют ли они тот же самый набор решений.

1. $$\log_2 x=3$$

   $$x=2^3=8.$$

   Множество решений совпадает. Да.

2. $$x^2-9x+8=0$$

   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}, \quad x_1=1,\; x_2=8.$$

   Есть лишний корень $$x=1.$$ Нет.

3. $$3x^2-24x=0$$

   $$3x(x-8)=0,$$

   $$x=0 \text{ или } x=8.$$

   Есть лишний корень $$x=0.$$ Нет.

4. $$\frac{16}{x}=2$$

   $$16=2x,$$

   $$x=8.$$

   Множество решений совпадает. Да.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.