Упр.25.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живет одинаковое количество жильцов. Какова вероятность того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов этого дома: а) на первом этаже проживают не менее 15 человек; б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек; в) на четных этажах живут от 70 до 80 человек; г) выше четвертого этажа живут более 99 человек?

Обозначим через $$k$$ число жильцов, живущих на указанных этажах. Тогда $$k$$ имеет биномиальное распределение, а вероятность находим по формуле Муавра — Лапласа:

$$P_n(a \le k \le b)=\Phi(x_2)-\Phi(x_1), \qquad x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}},$$

где $$n=150$$, $$p$$ — вероятность того, что случайно опрошенный житель живёт на нужных этажах, $$q=1-p$$.

1. На первом этаже живёт $$\frac{1}{10}$$ всех жильцов, значит $$p=0{,}1$$, $$q=0{,}9$$.

   $$npq=150\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9=13{,}5,$$

   $$x_1=\frac{15-150\cdot 0{,}1}{\sqrt{13{,}5}}=\frac{15-15}{\sqrt{13{,}5}}=0,$$

   $$x_2=\frac{150-150\cdot 0{,}1}{\sqrt{13{,}5}}=\frac{150-15}{\sqrt{13{,}5}}\approx 36{,}8.$$

   Тогда

   $$P=\Phi(36{,}8)-\Phi(0)=0{,}5.$$

2. На последних двух этажах живёт $$\frac{2}{10}$$ всех жильцов, значит $$p=0{,}2$$, $$q=0{,}8$$.

   $$npq=150\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=24,$$

   $$x_1=\frac{0-150\cdot 0{,}2}{\sqrt{24}}=\frac{-30}{\sqrt{24}}\approx -6{,}12,$$

   $$x_2=\frac{30-150\cdot 0{,}2}{\sqrt{24}}=\frac{30-30}{\sqrt{24}}=0.$$

   Следовательно,

   $$P=\Phi(0)-\Phi(-6{,}12)=0{,}5.$$

3. На чётных этажах живёт половина жильцов, значит $$p=0{,}5$$, $$q=0{,}5$$.

   $$npq=150\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=37{,}5,$$

   $$x_1=\frac{70-150\cdot 0{,}5}{\sqrt{37{,}5}}=\frac{70-75}{\sqrt{37{,}5}}\approx -0{,}82,$$

   $$x_2=\frac{80-150\cdot 0{,}5}{\sqrt{37{,}5}}=\frac{80-75}{\sqrt{37{,}5}}\approx 0{,}82.$$

   Тогда

   $$P=\Phi(0{,}82)-\Phi(-0{,}82)=2\Phi(0{,}82)\approx 0{,}5878.$$

4. Выше четвёртого этажа живёт $$6$$ из $$10$$ частей жильцов, значит $$p=0{,}6$$, $$q=0{,}4$$.

   $$npq=150\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4=36,$$

   $$x_1=\frac{100-150\cdot 0{,}6}{\sqrt{36}}=\frac{100-90}{6}\approx 1{,}66,$$

   $$x_2=\frac{150-150\cdot 0{,}6}{\sqrt{36}}=\frac{150-90}{6}=10.$$

   Следовательно,

   $$P=\Phi(10)-\Phi(1{,}66)\approx 0{,}5-0{,}4515=0{,}0485.$$

Ответ: а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5878$$; г) $$0{,}0485$$.