Упр.25.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Каждый из 50 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачным» днём считается понедельник. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?
б) Каждый из 100 человек независимо называет один из дней недели. «Удачными» днями считаются суббота и воскресенье. Какова вероятность того, что «неудач» будет 33?
в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 будут «удачными»?
г) Одновременно бросают три различные монеты; «неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» в тысяче бросаний?
Используем формулу Бернулли:
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$
где $$p$$ — вероятность «удачи», $$q=1-p$$ — вероятность «неудачи».
В задаче а) «удача» — это любой день, кроме понедельника. Тогда
$$n=50,\quad k=25,\quad p=\frac67,\quad q=\frac17.$$
Следовательно,
$$P_{50}(25)=C_{50}^{25}\left(\frac67\right)^{25}\left(\frac17\right)^{25}.$$
В задаче б) «удача» — это суббота или воскресенье. Тогда
$$n=100,\quad k=67,\quad p=\frac27,\quad q=\frac57.$$
Имеем
$$P_{100}(67)=C_{100}^{67}\left(\frac27\right)^{67}\left(\frac57\right)^{33}.$$
В задаче в) «удача» — выпадение 5 или 6 очков. Тогда
$$n=293,\quad k=175,\quad p=\frac26=\frac13,\quad q=\frac46=\frac23.$$
Получаем
$$P_{293}(175)=C_{293}^{175}\left(\frac13\right)^{175}\left(\frac23\right)^{118}.$$
В задаче г) при бросании трёх монет «удача» — это не более одного орла, то есть решек не больше, чем орлов. Тогда
$$n=1000,\quad k=3,\quad p=\frac48=\frac12,\quad q=\frac12.$$
Следовательно,
$$P_{1000}(3)=C_{1000}^{3}\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^{997}=C_{1000}^{3}\left(\frac12\right)^{1000}.$$
Ответ
а) $$P_{50}(25)=C_{50}^{25}\left(\frac67\right)^{25}\left(\frac17\right)^{25}$$;
б) $$P_{100}(67)=C_{100}^{67}\left(\frac27\right)^{67}\left(\frac57\right)^{33}$$;
в) $$P_{293}(175)=C_{293}^{175}\left(\frac13\right)^{175}\left(\frac23\right)^{118}$$;
г) $$P_{1000}(3)=C_{1000}^{3}\left(\frac12\right)^{1000}$$.
