Упр.25.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что из всех поступавших в университет абитуриентов в среднем $$60\%$$ набрали на экзаменах более $$20$$ баллов. Какова вероятность того, что из $$100$$ случайно выбранных абитуриентов более $$20$$ баллов набрали: а) от $$50$$ до $$70$$ человек; в) не более $$60$$ человек; б) не менее $$20$$ человек; г) более $$69$$ человек?

Пусть $$X$$ — число абитуриентов из 100, набравших более $$20$$ баллов. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=100$$, $$p=0{,}6$$, $$q=0{,}4$$.

Используем нормальное приближение Муавра — Лапласа:

$$np=100\cdot 0{,}6=60,\qquad npq=100\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4=24,\qquad \sqrt{npq}=\sqrt{24}\approx 4{,}9.$$

а) От 50 до 70 человек

$$x_1=\frac{50-60}{\sqrt{24}}\approx -2{,}04,\qquad x_2=\frac{70-60}{\sqrt{24}}\approx 2{,}04.$$

Тогда

$$P\approx \Phi(2{,}04)-\Phi(-2{,}04)=2\Phi(2{,}04)-1\approx 0{,}9586.$$

б) Не менее 20 человек

$$x_1=\frac{20-60}{\sqrt{24}}\approx -8{,}16,\qquad x_2=\frac{100-60}{\sqrt{24}}\approx 8{,}16.$$

Следовательно,

$$P\approx \Phi(8{,}16)-\Phi(-8{,}16)\approx 1.$$

в) Не более 60 человек

$$x_1=\frac{0-60}{\sqrt{24}}\approx -12{,}25,\qquad x_2=\frac{60-60}{\sqrt{24}}=0.$$

Тогда

$$P\approx \Phi(0)-\Phi(-12{,}25)=0{,}5.$$

г) Более 69 человек

$$x_1=\frac{70-60}{\sqrt{24}}\approx 2{,}04,\qquad x_2=\frac{100-60}{\sqrt{24}}\approx 8{,}16.$$

Следовательно,

$$P\approx \Phi(8{,}16)-\Phi(2{,}04)=0{,}5-\Phi(2{,}04)\approx 0{,}0207.$$

Ответ: а) $$0{,}9586$$; б) $$1$$; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}0207$$.