Упр.25.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вероятность рождения мальчика примем равной $$50\%$$. Найдите вероятность того, что среди $$900$$ новорожденных будет: а) от $$400$$ до $$450$$ мальчиков; б) не менее $$440$$ мальчиков; в) от $$430$$ до $$470$$ девочек; г) не более $$460$$ девочек.

Пусть $$X$$ — число мальчиков среди $$900$$ новорождённых. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=900$$, $$p=0{,}5$$. Используем нормальную аппроксимацию:

$$\mu=np=900\cdot 0{,}5=450,\qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{900\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=15.$$

Тогда

$$P(a\le X\le b)\approx \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),$$

где $$\Phi(x)$$ — функция Лапласа.

1. От $$400$$ до $$450$$ мальчиков:

   $$x_1=\frac{400-450}{15}\approx -3{,}33,\qquad x_2=\frac{450-450}{15}=0.$$

   $$P\approx \Phi(0)-\Phi(-3{,}33)=0{,}4995.$$

2. Не менее $$440$$ мальчиков:

   $$x_1=\frac{440-450}{15}\approx -0{,}67,\qquad x_2=\frac{900-450}{15}=30.$$

   $$P\approx \Phi(30)-\Phi(-0{,}67)=0{,}5+0{,}2454=0{,}7454.$$

3. От $$430$$ до $$470$$ девочек:

   Число девочек равно $$900-X$$, значит условие $$430\le 900-X\le 470$$ равносильно $$430\le X\le 470$$.

   $$x_1=\frac{430-450}{15}\approx -1{,}33,\qquad x_2=\frac{470-450}{15}\approx 1{,}33.$$

   $$P\approx \Phi(1{,}33)-\Phi(-1{,}33)=2\Phi(1{,}33)\approx 2\cdot 0{,}4082=0{,}8164.$$

4. Не более $$460$$ девочек:

   Это означает $$900-X\le 460$$, то есть $$X\ge 440$$.

   $$x_1=\frac{440-450}{15}\approx -0{,}67,\qquad x_2=\frac{900-450}{15}=30.$$

   $$P\approx \Phi(30)-\Phi(-0{,}67)=0{,}7454.$$

Ответ: а) $$0{,}4995$$; б) $$0{,}7454$$; в) $$0{,}8164$$; г) $$0{,}7454$$.