Упр.25.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счастливчик!» организован так. Ведущий записывает произвольную цифру от $$0$$ до $$9$$. После этого очередной участник вслух произвольно называет свою цифру от $$0$$ до $$9$$. Если цифры совпали, то участник проходит на следующий этап. С помощью таблицы значений функции $$\Phi$$ найдите приближённо (с точностью до четвёртого знака после запятой) вероятность того, что из $$10\,000$$ игроков на следующий этап пройдут ровно: а) $$2000$$; б) $$1000$$; в) $$970$$; г) $$900$$ человек.
Пусть $$n=10000,$$ $$p=0{,}1,$$ $$q=0{,}9.$$
Тогда математическое ожидание числа прошедших участников:
$$np=10000\cdot 0{,}1=1000,$$
а среднее квадратичное отклонение:
$$\sqrt{npq}=\sqrt{10000\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{900}=30.$$
Используем нормальное приближение Муавра — Лапласа:
$$P_n(k)\approx \frac{\varphi(x_k)}{30}, \qquad x_k=\frac{k-1000}{30}.$$
$$k=2000,$$
$$x_{2000}=\frac{2000-1000}{30}=\frac{1000}{30}\approx 33{,}33.$$
При таком значении $$x$$ функция $$\varphi(x)$$ практически равна нулю, значит
$$P\approx 0.$$
$$k=1000,$$
$$x_{1000}=\frac{1000-1000}{30}=0,$$
$$P\approx \frac{\varphi(0)}{30}=\frac{0{,}3989}{30}\approx 0{,}0133.$$
$$k=970,$$
$$x_{970}=\frac{970-1000}{30}=-1,$$
$$P\approx \frac{\varphi(1)}{30}=\frac{0{,}2420}{30}\approx 0{,}0081.$$
$$k=900,$$
$$x_{900}=\frac{900-1000}{30}=-\frac{100}{30}\approx -3{,}33,$$
$$P\approx \frac{\varphi(3{,}33)}{30}\approx 0.$$
Ответ: а) $$0$$; б) $$0{,}0133$$; в) $$0{,}0081$$; г) $$0$$.
