Упр.25.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При входе на выставку аттракционов стоит урна с четырьмя черными и одним белым шаром. Входящий вытаскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар окажется белым, то посетитель проходит на выставку бесплатно, а если черным, то покупает билет. С помощью таблицы значений функции $$\varphi$$ найдите приближенно (с точностью до четвертого знака после запятой) вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно: а) 1000; б) 500; в) 450; г) 510 человек.

$$n=2500,\quad p=\frac{1}{4+1}=0{,}2,\quad q=1-p=0{,}8,$$

$$npq=2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8=400,\quad \sqrt{npq}=20.$$

Используем формулу Муавра — Лапласа:

$$P_{2500}(k)\approx \frac{\varphi(x_k)}{\sqrt{npq}},\qquad x_k=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}.$$

а) $$k=1000,$$ тогда

$$x_{1000}=\frac{1000-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{1000-500}{20}=25.$$

Значение $$\varphi(25)$$ практически равно нулю, значит

$$P_{2500}(1000)\approx 0.$$

б) $$k=500,$$ тогда

$$x_{500}=\frac{500-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{500-500}{20}=0.$$

По таблице $$\varphi(0)=0{,}3989,$$ поэтому

$$P_{2500}(500)\approx \frac{0{,}3989}{20}=0{,}019945\approx 0{,}02.$$

в) $$k=450,$$ тогда

$$x_{450}=\frac{450-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{450-500}{20}=-2{,}5.$$

Так как $$\varphi(-2{,}5)=\varphi(2{,}5)=0{,}0175,$$ получаем

$$P_{2500}(450)\approx \frac{0{,}0175}{20}=0{,}000875\approx 0{,}0009.$$

г) $$k=510,$$ тогда

$$x_{510}=\frac{510-2500\cdot 0{,}2}{20}=\frac{510-500}{20}=0{,}5.$$

По таблице $$\varphi(0{,}5)=0{,}3521,$$ значит

$$P_{2500}(510)\approx \frac{0{,}3521}{20}=0{,}017605\approx 0{,}0176.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0{,}02$$; в) $$0{,}0009$$; г) $$0{,}0176$$.