Упр.23.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на победу каждого из них в отдельной партии считаются равными. Какой результат $$\mathrm{А}:\mathrm{Б}$$ оценивается как более вероятный:
а) $$2:2$$ или $$3:1$$ в четырёх партиях;
б) $$2:2$$ в четырёх партиях или $$3:3$$ в шести партиях;
в) $$3:1$$ в четырёх партиях или $$4:2$$ в шести партиях;
г) $$2:3$$ в пяти партиях или $$3:3$$ в шести партиях?

Подробный ответ

При равных шансах на победу в каждой партии вероятность получить заданный счёт $$k:n-k$$ в $$n$$ партиях равна

$$P_n(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\frac12\right)^n.$$

Сравним $$2:2$$ и $$3:1$$ в четырёх партиях:
$$P_4(2)=\frac{4!}{2!\,2!}\left(\frac12\right)^4=\frac{6}{16}=\frac38,$$
$$P_4(3)=\frac{4!}{3!\,1!}\left(\frac12\right)^4=\frac{4}{16}=\frac14.$$
Так как $$\frac38>\frac14,$$ более вероятен результат $$2:2.$$
Сравним $$2:2$$ в четырёх партиях и $$3:3$$ в шести партиях:
$$P_4(2)=\frac{4!}{2!\,2!}\left(\frac12\right)^4=\frac38,$$
$$P_6(3)=\frac{6!}{3!\,3!}\left(\frac12\right)^6=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}.$$
Так как $$\frac38>\frac{5}{16},$$ более вероятен результат $$2:2.$$
Сравним $$3:1$$ в четырёх партиях и $$4:2$$ в шести партиях:
$$P_4(3)=\frac{4!}{3!\,1!}\left(\frac12\right)^4=\frac14,$$
$$P_6(4)=\frac{6!}{4!\,2!}\left(\frac12\right)^6=\frac{15}{64}.$$
Так как $$\frac{15}{64}>\frac14,$$ более вероятен результат $$4:2.$$
Сравним $$2:3$$ в пяти партиях и $$3:3$$ в шести партиях:
$$P_5(2)=\frac{5!}{2!\,3!}\left(\frac12\right)^5=\frac{10}{32}=\frac{5}{16},$$
$$P_6(3)=\frac{6!}{3!\,3!}\left(\frac12\right)^6=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}.$$
Вероятности равны, значит результаты одинаково вероятны.