Упр.23.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем формулу биномиального распределения:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$

где для честной монеты $$p=q=\frac12,$$ а число бросаний $$n=8.$$

1. Орёл выпадет ровно пять раз:

   $$P_8(5)=C_8^5\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right)^3=C_8^5\left(\frac12\right)^8.$$

   $$P_8(5)=\frac{8!}{5!\,3!}\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{56}{256}=\frac{7}{32}.$$

2. Орлов и решек выпадет поровну:

   Это значит, что орёл выпадет 4 раза и решка 4 раза.

   $$P_8(4)=C_8^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^4=C_8^4\left(\frac12\right)^8.$$

   $$P_8(4)=\frac{8!}{4!\,4!}\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{70}{256}=\frac{35}{128}.$$

3. Решка выпадет ровно пять раз:

   По симметрии это такая же вероятность, как и в пункте а):

   $$P_8(5)=\frac{7}{32}.$$

4. Решка выпадет чаще орла:

   Это возможно, если решка выпадет 5, 6, 7 или 8 раз:

   $$P=P_8(5)+P_8(6)+P_8(7)+P_8(8).$$

   $$P=\left(C_8^5+C_8^6+C_8^7+C_8^8\right)\left(\frac12\right)^8.$$

   $$P=\frac{56+28+8+1}{256}=\frac{93}{256}.$$

Ответ: а) $$\frac{7}{32}$$; б) $$\frac{35}{128}$$; в) $$\frac{7}{32}$$; г) $$\frac{93}{256}$$.