Упр.23.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

23.1. Каждое испытание в задаче повторили трижды. Что более вероятно в каждом из случаев а), б), в), г): то, что наступит хотя бы один «успех», или то, что наступит хотя бы одна «неудача»?

Подробный ответ

Обозначим через $$p$$ вероятность успеха в одном испытании, а через $$q=1-p$$ — вероятность неудачи. Тогда после трёх повторений:

вероятность хотя бы одного успеха равна $$1-q^3$$,

вероятность хотя бы одной неудачи равна $$1-p^3$$.

Сравним эти вероятности в каждом случае.

а) Вытаскивание одной кости домино. Неудача — появление дубля.
Всего костей $$28$$, дублей $$7$$, значит
$$q=\frac{7}{28}=\frac14,\qquad p=1-\frac14=\frac34.$$
Тогда
$$1-q^3=1-\left(\frac14\right)^3=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64},$$
$$1-p^3=1-\left(\frac34\right)^3=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}.$$
Больше вероятность хотя бы одного успеха.
б) Вытаскивание одной кости домино. Неудача — сумма очков меньше $$4$$.
Таких костей $$6$$: $$00,\,01,\,02,\,03,\,11,\,12$$. Поэтому
$$q=\frac{6}{28}=\frac{3}{14},\qquad p=1-\frac{3}{14}=\frac{11}{14}.$$
Тогда
$$1-q^3=1-\left(\frac{3}{14}\right)^3=1-\frac{27}{2744}=\frac{2717}{2744},$$
$$1-p^3=1-\left(\frac{11}{14}\right)^3=1-\frac{1331}{2744}=\frac{1413}{2744}.$$
Больше вероятность хотя бы одного успеха.
в) Вытаскивание карты из колоды в $$36$$ карт. Неудача — появление пики.
Пик $$9$$, значит
$$q=\frac{9}{36}=\frac14,\qquad p=\frac34.$$
Следовательно,
$$1-q^3=\frac{63}{64},\qquad 1-p^3=\frac{37}{64}.$$
Больше вероятность хотя бы одного успеха.
г) Вытаскивание карты из колоды в $$36$$ карт. Неудача — появление туза, короля или дамы.
Таких карт $$4+4+4=12$$, значит
$$q=\frac{12}{36}=\frac13,\qquad p=\frac23.$$
Тогда
$$1-q^3=1-\left(\frac13\right)^3=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27},$$
$$1-p^3=1-\left(\frac23\right)^3=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}.$$
Больше вероятность хотя бы одного успеха.