Упр.23.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

В $$n$$ испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказалось единственное число $$k$$. Оцените, в каких пределах может находиться вероятность неудачи в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что:

а) $$n=9$$, $$k=3$$;

в) $$n=99$$, $$k=30$$;

б) $$n=999$$, $$k=300$$;

г) $$n=99$$, $$k=3$$.

Подробный ответ

Для биномиального распределения наивероятнейшее число успехов $$k$$ определяется неравенством

$$np-q \le k \le np+p,$$

где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$ — вероятность неудачи.

Тогда для каждого случая находим границы для $$p$$, а затем для $$q$$.

$$n=9,\ k=3$$
$$9p-(1-p)\le 3 \le 9p+p$$
$$10p\le 4,\qquad 10p\ge 3$$
$$0{,}3\le p\le 0{,}4$$
Следовательно,
$$0{,}6\le q\le 0{,}7.$$
$$n=999,\ k=300$$
$$999p-(1-p)\le 300 \le 999p+p$$
$$1000p\le 301,\qquad 1000p\ge 300$$
$$0{,}3\le p\le 0{,}301$$
Следовательно,
$$0{,}699\le q\le 0{,}7.$$
$$n=99,\ k=30$$
$$99p-(1-p)\le 30 \le 99p+p$$
$$100p\le 31,\qquad 100p\ge 30$$
$$0{,}3\le p\le 0{,}31$$
Следовательно,
$$0{,}69\le q\le 0{,}7.$$
$$n=99,\ k=3$$
$$99p-(1-p)\le 3 \le 99p+p$$
$$100p\le 4,\qquad 100p\ge 3$$
$$0{,}03\le p\le 0{,}04$$
Следовательно,
$$0{,}96\le q\le 0{,}97.$$