Упр.23.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Даны две концентрические окружности с радиусами $$1$$ и $$2$$ соответственно. На меньшей окружности отмечена точка $$P$$. В кольце между окружностями наудачу выбраны точки $$A$$ и $$B$$. Найдите вероятность того, что:
а) отрезок $$AP$$ имеет с меньшей окружностью только одну общую точку $$P$$;
б) отрезки $$AP$$ и $$BP$$ пересекают меньшую окружность в точках, отличных от точки $$P$$;
в) хотя бы один из отрезков $$AP$$ и $$BP$$ пересекает меньшую окружность в точке, отличной от точки $$P$$;
г) оба отрезка $$AP$$ и $$BP$$ имеют с меньшей окружностью только одну общую точку $$P$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$p$$ вероятность того, что отрезок $$AP$$ пересекает меньшую окружность только в точке $$P$$.

Проведём через точку $$P$$ хорду большой окружности, касающуюся меньшей окружности. Тогда центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$120^\circ$$, а длина хорды:

$$EF=2\sqrt{3}.$$

Площадь кольца:

$$S_{\text{кольца}}=\pi\cdot 2^2-\pi\cdot 1^2=4\pi-\pi=3\pi.$$

Площадь «успешного» сегмента равна площади сектора минус площади треугольника:

$$S_{\text{сегм}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 2^2-\frac12\cdot EF\cdot PO =\frac13\cdot 4\pi-\frac12\cdot 2\sqrt3\cdot 1 =\frac{4\pi}{3}-\sqrt3.$$

Тогда

$$p=\frac{S_{\text{сегм}}}{S_{\text{кольца}}} =\frac{\frac{4\pi}{3}-\sqrt3}{3\pi} \approx 0{,}2607.$$

Обозначим $$q=1-p\approx 0{,}7393$$.

Для одного отрезка $$AP$$:
$$P_a=p\approx 0{,}2607.$$
Оба отрезка $$AP$$ и $$BP$$ пересекают меньшую окружность в точках, отличных от $$P$$:
$$P_b=q^2\approx 0{,}7393^2\approx 0{,}5466.$$
Хотя бы один из отрезков $$AP$$ и $$BP$$ пересекает меньшую окружность в точке, отличной от $$P$$:
$$P_c=1-p^2\approx 1-0{,}2607^2\approx 0{,}932.$$
Оба отрезка $$AP$$ и $$BP$$ имеют с меньшей окружностью только одну общую точку $$P$$:
$$P_d=p^2\approx 0{,}2607^2\approx 0{,}0680.$$