Упр.23.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Даны два концентрических шара радиусов $$1$$ и $$2$$ соответственно. В большем шаре независимым образом поочередно выбирают $$3$$ точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся в меньшем шаре; б) вне меньшего шара окажется ровно одна точка; в) ни одна из точек не окажется в меньшем шаре; г) хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре.

Найдём вероятность того, что одна случайно выбранная точка попадёт в меньший шар:

$$p=\frac{V_{\text{меньш}}}{V_{\text{больш}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3}{\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3}=\frac{1}{8}.$$

Тогда вероятность попасть вне меньшего шара равна

$$q=1-p=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$$

Ход решения

Так как точки выбираются независимо, используем формулу Бернулли.

1. Все три точки окажутся в меньшем шаре:

   $$P_3(3)=\left(\frac{1}{8}\right)^3=\frac{1}{512}\approx 0{,}002.$$

2. Вне меньшего шара окажется ровно одна точка, то есть в меньшем шаре окажутся две точки:

   $$P_3(2)=C_3^2\left(\frac{1}{8}\right)^2\left(\frac{7}{8}\right)=3\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{7}{8}=\frac{21}{512}\approx 0{,}041.$$

3. Ни одна из точек не окажется в меньшем шаре:

   $$P_3(0)=\left(\frac{7}{8}\right)^3=\frac{343}{512}\approx 0{,}670.$$

4. Хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре:

   $$P=1-P_3(0)=1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}\approx 0{,}330.$$

Ответ

а) $$0{,}002$$; б) $$0{,}041$$; в) $$0{,}670$$; г) $$0{,}330$$.