Упр.23.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от куба треугольную пирамиду. В кубе независимым образом поочередно выбирают три точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся вне пирамиды; б) в пирамиде окажется ровно одна точка; в) ровно одна точка окажется вне пирамиды; г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.

Обозначим через $$p$$ вероятность того, что одна случайно выбранная точка попадёт в пирамиду, а через $$q$$ — вероятность того, что она окажется вне пирамиды.

Пирамида отсекается плоскостью через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины. Её основание — половина грани куба, а высота равна ребру куба, поэтому

$$V_{\text{пир}}=\frac13 \cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}.$$

Так как объём куба равен $$a^3$$, то

$$p=\frac{V_{\text{пир}}}{V_{\text{куба}}}=\frac{1}{6}, \qquad q=1-p=\frac{5}{6}.$$

Ход решения

Используем формулу биномиального распределения:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$

где $$n=3$$ — число выбранных точек.

1. Все точки окажутся вне пирамиды:

   $$P_3(0)=C_3^0\left(\frac16\right)^0\left(\frac56\right)^3 =\left(\frac56\right)^3 =\frac{125}{216}\approx 0{,}5787.$$

2. В пирамиде окажется ровно одна точка:

   $$P_3(1)=C_3^1\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^2 =3\cdot \frac16 \cdot \left(\frac56\right)^2 =\frac{75}{216}\approx 0{,}3472.$$

3. Ровно одна точка окажется вне пирамиды:

   $$P_3(2)=C_3^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^1 =3\cdot \left(\frac16\right)^2 \cdot \frac56 =\frac{15}{216}\approx 0{,}0694.$$

4. Хотя бы одна точка окажется вне пирамиды:

   $$P=1-P_3(3)=1-\left(\frac16\right)^3 =1-\frac{1}{216} =\frac{215}{216}\approx 0{,}9954.$$

Ответ

а) $$0{,}5787$$; б) $$0{,}3472$$; в) $$0{,}0694$$; г) $$0{,}9954$$.