Упр.23.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Вершины квадрата лежат на сторонах правильного треугольника. В треугольнике независимым образом поочередно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того, что:

• а) все точки окажутся в квадрате;
• б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну;
• в) ни одна из точек не окажется в квадрате;
• г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.

Обозначим через $$p$$ вероятность того, что случайно выбранная точка треугольника попадёт в квадрат, а через $$q$$ — вероятность того, что она окажется вне квадрата. Тогда

$$p=\frac{S_{\text{квад}}}{S_{\text{треуг}}}, \qquad q=1-p.$$

Пусть сторона квадрата равна $$b$$, а сторона правильного треугольника — $$a$$. Из рисунка:

$$a=b+\frac{2b}{\sqrt{3}}=\frac{b(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$S_{\text{треуг}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2(2+\sqrt{3})^2}{4\sqrt{3}}, \qquad S_{\text{квад}}=b^2.$$

Следовательно,

$$p=\frac{b^2}{\dfrac{b^2(2+\sqrt{3})^2}{4\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})^2}=\frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}=\frac{12}{12+7\sqrt{3}}\approx 0{,}4974,$$

$$q=1-p\approx 0{,}5026.$$

Так как выбирают 4 точки независимо, используем формулу Бернулли.

1. Все 4 точки окажутся в квадрате:

   $$P_4(4)=p^4\approx 0{,}4974^4\approx 0{,}0612.$$

2. В квадрате и вне квадрата точек окажется поровну, то есть 2 и 2:

   $$P_4(2)=\binom{4}{2}p^2q^2=6\cdot 0{,}4974^2\cdot 0{,}5026^2\approx 0{,}3750.$$

3. Ни одна точка не окажется в квадрате:

   $$P_4(0)=q^4\approx 0{,}5026^4\approx 0{,}0638.$$

4. Хотя бы одна точка окажется в квадрате:

   $$P=1-P_4(0)\approx 1-0{,}0638=0{,}9362.$$

Ответ: а) $$0{,}0612$$; б) $$0{,}3750$$; в) $$0{,}0638$$; г) $$0{,}9362$$.