Упр.23.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- При восьми бросаниях монеты орел может выпасть $$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ раз.
а) Найдите соответствующие вероятности $$P_8(k)$$ (в процентах).
б) Составьте таблицу распределения вероятностей.
в) Составьте многоугольник распределения вероятностей.
г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.
При восьми бросаниях монеты число выпадений орла $$k$$ может принимать значения $$0,1,2,3,4,5,6,7,8.$$
Ход решения
Вероятность того, что орёл выпадет ровно $$k$$ раз, находим по формуле биномиального распределения:
$$P_8(k)=C_8^k\cdot 0{,}5^k\cdot 0{,}5^{8-k}=C_8^k\cdot 0{,}5^8.$$
Вычислим значения вероятностей:
$$P_8(0)=P_8(8)=0{,}5^8\approx 0{,}004$$
$$P_8(1)=P_8(7)=8\cdot 0{,}5^8\approx 0{,}031$$
$$P_8(2)=P_8(6)=\frac{8\cdot 7}{2}\cdot 0{,}5^8\approx 0{,}109$$
$$P_8(3)=P_8(5)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2}\cdot 0{,}5^8\approx 0{,}219$$
$$P_8(4)=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2}\cdot 0{,}5^8\approx 0{,}273$$
Составим таблицу распределения вероятностей:
| $$k$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | $$6$$ | $$7$$ | $$8$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$P_8(k)$$ | $$0{,}004$$ | $$0{,}031$$ | $$0{,}109$$ | $$0{,}219$$ | $$0{,}273$$ | $$0{,}219$$ | $$0{,}109$$ | $$0{,}031$$ | $$0{,}004$$ |
Многоугольник распределения вероятностей строится по точкам:
$$(0;0{,}004),\ (1;0{,}031),\ (2;0{,}109),\ (3;0{,}219),\ (4;0{,}273),\ (5;0{,}219),\ (6;0{,}109),\ (7;0{,}031),\ (8;0{,}004).$$
Соединив эти точки отрезками, получаем многоугольник распределения.
Наибольшая вероятность соответствует значению $$k=4$$, значит, наивероятнейшее число выпадений орла — $$4$$.
Ответ
а) $$P_8(0)=0{,}004,\ P_8(1)=0{,}031,\ P_8(2)=0{,}109,\ P_8(3)=0{,}219,\ P_8(4)=0{,}273,\ P_8(5)=0{,}219,\ P_8(6)=0{,}109,\ P_8(7)=0{,}031,\ P_8(8)=0{,}004.$$
б) Таблица распределения приведена выше.
в) Точки многоугольника: $$(0;0{,}004), (1;0{,}031), (2;0{,}109), (3;0{,}219), (4;0{,}273), (5;0{,}219), (6;0{,}109), (7;0{,}031), (8;0{,}004).$$
г) $$k=4.$$
